Question

【题目】在杨辉三角形中，从第2行开始，除1以外，其它每一个数值是它上面的两个数值之和，该三角形数阵开头几行如图所示.

(1)在杨辉三角形中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比是3∶4∶5？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由；

(2)已知n，r为正整数，且n≥r＋3.求证：任何四个相邻的组合数C，C，C，C不能构成等差数列.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】试题分析：(1) 杨辉三角形的第行由二项式系数组成.

若第行中有三个相邻的数之比为则

解之即可说明存在；

利用组合数公式可得两式相减得，所以C，C，C，C成等差数列，由二项式系数的性质可知C＝C＜C＝C，这与等差数列的性质矛盾，从而要证明的结论成立

试题解析：(1)解　存在.杨辉三角形的第n行由二项式系数C，k＝0，1，2，…，n组成.

若第n行中有三个相邻的数之比为3∶4∶5，

则，

即3n－7k＝－3，4n－9k＝5，解得k＝27，n＝62.

即第62行有三个相邻的数C，C，C的比为3∶4∶5.

(2)证明　若有n，r(n≥r＋3)，使得C，C，C，C成等差数列，

则2C＝C＋C，2C＝C＋C，

即＝＋，

＝＋，

所以＝＋，

＝＋，

整理得n2－(4r＋5)n＋4r(r＋2)＋2＝0，n2－(4r＋9)n＋4(r＋1)(r＋3)＋2＝0.

两式相减得n＝2r＋3，

所以C，C，C，C成等差数列，

由二项式系数的性质可知C＝C＜C＝C，

这与等差数列的性质矛盾，从而要证明的结论成立