Question

已知函数f（x）=ax²+bx-1（a，b为实数），x∈R，
（1）若不等式f（x）＞2的解集为{x|x＜-3或x＞1}，求f（x）在区间[-2，3）的值域；
（2）在（1）的条件下，当x∈[-1，1]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围．

Answer 1

解：（1）由题意可得不等式f（x）＞2的解集为{x|x＜-3或x＞1}，
即不等式ax²+bx-3＞0的解集为{x|x＜-3或x＞1}，
∴-3和1是方程ax²+bx-3=0的两根，∴
解得，∴f（x）=x²+2x-1=（x+1）²-2
∴x∈[-2，3）时，f（x）_min=f（-1）=-2，f（x）＜f（3）=14
∴求f（x）在区间[-2，3）的值域为：[-2，14）
（2）由（1）知，g（x）=x²+2x-1-kx=x²+（2-k）x-1
∴g（x）的图象为开口向上的抛物线，对称轴为x=
若函数g（x）[-1，1]上是单调函数，则
≤-1或，解得k≤0，或k≥4
故实数k的取值范围为k≤0，或k≥4
分析：（1）由题意可得ax²+bx-3＞0的解集为{x|x＜-3或x＞1}，即-3和1是方程ax²+bx-3=0的两根，可解ab的值，通过二次函数区间的最值可解；
（2）由（1）知，g（x）=x²+2x-1-kx=x²+（2-k）x-1，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为x=，题意可化为≤-1或，解之即可．
点评：本题为不等式的解集与二次函数的结合，涉及函数的单调性，属基础题．