Question

【题目】如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝90°，D为BB1的中点．

求证：AD⊥平面A1DC1.

Answer 1

【答案】解：证明：∵AA1⊥底面ABC，平面A1B1C1∥平面ABC， ∴AA1⊥平面A1B1C1 ，
∴A1C1⊥AA1.又∠B1A1C1＝90°，∴A1C1⊥A1B1 ， 又A1B1∩AA1＝A1 ，
∴A1C1⊥平面AA1B1B，又AD平面AA1B1B，∴A1C1⊥AD.
由已知计算得AD＝ ，A1D＝ ，又AA1＝2，∴AD2＋A1D2＝AA ，∴A1D⊥AD，∵A1C1∩A1D＝A1 ， ∴AD⊥平面A1DC1
【解析】通过证明AD与平面内两条相交直线都垂直来证明。
【考点精析】利用直线与平面垂直的判定对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．