Question

设Q、G分别为△ABC的外心和重心，已知A（-1，0），B（1，0），QG∥AB．
（1）求点C的轨迹E．
（2）轨迹E与y轴两个交点分别为A₁，A₂（A₁位于A₂下方）．动点M、N均在轨迹E上，且满足A₁M⊥A₁N，试问直线A₁N和A₂M交点P是否恒在某条定直线l上？若是，试求出l的方程；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设C（x，y），由A（-1，0），B（1，0），知G(

x

3

，

y

3

)，由Q是外心，且QG∥AB，能求出点C的轨迹E．
（2）由A1(0，-

3

)，A2(0，

3

)，设A₁N的方程为y=kx-

3

，由A₁N⊥A₁M，知A₁M的方程为y=-

1

k

x-

3

，
代入方程x2+

y2

3

=1得（3+k²）x²+2

3

kx=0，由此能够推导出点P在定直线y=-2

3

上．

解答：解：（1）设C（x，y），
∵A（-1，0），B（1，0），
∴G(

x

3

，

y

3

)…（2分）
又∵Q是外心，且QG∥AB
∴Q(0，

y

3

)…（2分）
∵|QA|=|QC|
∴1+

y2

9

=x2+

4y2

9

，
即x2+

y2

3

=1(y≠0)…（7分）
（2）由（1）可知A1(0，-

3

)，A2(0，

3

)，
设A₁N的方程为y=kx-

3

，∵A₁N⊥A₁M
∴A₁M的方程为y=-

1

k

x-

3

，
代入方程x2+

y2

3

=1得：（3+k²）x²+2

3

kx=0，…（8分）
解得x1=0，x2=

-2 3 k

3k2+1

，…（10分）
代入方程y=-

1

k

x-

3

可得M(

-2 3 k

3k2+1

，

3 -3 3 k2

3k2+1

)…（11分）
∴kA2M=

3 -3 3 k2 3k2+1 - 3

-2 3 k 3k2+1

=3k，
∴A₂M的方程为y=3kx+

3

…（13分）
∴由

y=kx- 3 y=3kx+ 3

⇒P(-

3

k

，-2

3

)
∴点P在定直线y=-2

3

上．…（15分）

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．