Question

18．椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1的左焦点为F₁，点P在椭圆上，如果线段PF₁的中点M在y轴正半轴上，那么以线段F₁P为直径的圆的标准方程为x²+（y-$\frac{3}{2}$）²=$\frac{25}{4}$．

Answer 1

分析 先根据中位线定理可推断出PF₂垂直于x轴，根据椭圆的标准方程求出焦距，进而设|PF₁|=t，根据勾股定理求得t和|PF₂|，可得M的坐标，可得所求圆的标准方程．

解答 解：∵O是F₁F₂的中点，M为PF₁的中点，
∴PF₂平行于y轴，即PF₂垂直于x轴，
∵c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{16-12}$=2，
∴|F₁F₂|=4
设|PF₁|=t，根据椭圆定义可知|PF₂|=8-t，
∴（8-t）²+16=t²，解得t=5，
∴|PF₂|=3，
可得M（0，$\frac{3}{2}$），|PM|=$\frac{5}{2}$，
即有所求圆的方程为x²+（y-$\frac{3}{2}$）²=$\frac{25}{4}$．
故答案为：x²+（y-$\frac{3}{2}$）²=$\frac{25}{4}$．

点评 本题考查椭圆的定义和方程的运用，考查圆的方程的求法，注意运用中位线定理和椭圆的定义，属于中档题．