Question

已知函数(n∈N⁺)，且y=f(x)的图象经过点(1，n²)，数列{a_n}(n∈N₊)为等差数列.(1)求数列{ a_n}的通项公式；

(2)当n为奇函数时，设,是否存在自然数m和M，使不等式m<<M恒成立，若存在，求出M-m的最小值；若不存在，说明理由.

Answer 1

(1) a_n=2n-1    (2) M-m的最小值为2.

解析:

(1)据题意：f(1)=n²   即 

    令n=1 则a₀+a₁=1，a₁=1-a₀   令n=2 则a₀+a₁+a₂=2²，a₂=4-(a₀+a₁)=4-1=3

        令n=3 则a₀+a₁+a₂+a₃=3²，a₃=9-(a₀+a₁+a₂)=9-4=5 ∵{a_n}为等差数列

  ∴d=a₃-a₂=5-3=2      a₁=3-2=1   a₀=0    a_n=1+(n-1)·2=2n-1

       (2)由(1)

       n为奇数时，

  

相减得：

令，.

∴C_n+1≤C_n，C_n随n增大而减小    又随n增大而减小

∴g()为n的增函数，当n=1时，g()=

而    

∴使m<g()<M恒成立的自然m的最大值为0，M最小值为2.   M-m的最小值为2.