Question

若椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂，椭圆的离心率为：2．（1）过点C（-1,0）且以向量为方向向量的直线交椭圆于不同两点A、B，若，则当△OAB的面积最大时，求椭圆的方程。
（2）设M，N为椭圆上的两个动点，，过原点O作直线MN的垂线OD，垂足为D，求点D的轨迹方程．

Answer 1

（1） （2）

试题分析：（1），设椭圆的方程为
依题意，直线的方程为：
由
设

                

当且仅当
此时       
（2）设点的坐标为．
当时，由知，直线的斜率为，所以直线的方程为，或，其中，．
点的坐标满足方程组
得，整理得，
于是，．

．
由知．，
将代入上式，整理得．
当时，直线的方程为，的坐标满足方程组
所以，．
由知，即，
解得．          
这时，点的坐标仍满足．
综上，点的轨迹方程为　
点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，抛物线的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．