【题目】(本小题满分分)
如图,在中, , , 分别为, 的中点,点为线段上的一点,将沿折起到的位置,使,如图.
(Ⅰ)求证: 平面.
(Ⅱ)求证: .
(Ⅲ)线段上是否存在点,使平面?说明理由.
【答案】详见解析
【解析】试题分析:(1)D,E分别为AC,AB的中点,易证DE∥平面A1CB;
(2)由题意可证DE⊥平面A1DC,从而有DE⊥A1F,又A1F⊥CD,可证A1F⊥平面BCDE,问题解决;
(3)取A1C,A1B的中点P,Q,则PQ∥BC,平面DEQ即为平面DEP,由DE⊥平面,P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点,可证A1C⊥平面DEP,从而A1C⊥平面DEQ.
试题解析:
()证明:∵, 分别为, 的中点,
∴.
又∵平面, 平面,
∴平面.
()证明:由已知得且,∴.
又∵,∴平面.
而平面,∴.
又∵,∴平面,
∴.
()线段上存在点,使得平面,理由如下:
如图,分别取, 的中点, ,则.
又∵,∴,∴平面即为平面.
由()知, 平面,∴.
又∵是等腰三角形底边的中点,∴.
∴平面,于是平面.
故线段上存在点,使得平面.
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【题目】在某城市气象部门的数据中,随机抽取100天的空气质量指数的监测数据如表:
空气质量指数t | (0,50] | (50,100] | (100,150] | (150,200) | (200,300] | (300,+∞) |
质量等级 | 优 | 良 | 轻微污染 | 轻度污染 | 中度污染 | 严重污染 |
天数K | 5 | 23 | 22 | 25 | 15 | 10 |
(1)若该城市各医院每天收治上呼吸道病症总人数y与当天的空气质量(取整数)存在如下关系 且当t>300时,y>500,估计在某一医院收治此类病症人数超过200人的概率;
(2)若在(1)中,当t>300时,y与t的关系拟合的曲线为,现已取出了10对样本数据(ti,yi)(i=1,2,3,…,10),且知 试用可线性化的回归方法,求拟合曲线的表达式.(附:线性回归方程中, , .)
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【题目】程大位是明代著名数学家,他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作,它问世后不久便风行宇内,成为明清之际研习数学者必读的教材,而且传到朝鲜、日本及东南亚地区,对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用.卷八中第33问是:“今有三角果一垛,底阔每面七个,问该若干?”如图是解决该问题的程序框图,执行该程序框图,求得该垛果子的总数为( )
A. 120 B. 84 C. 56 D. 28
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【题目】(本小题满分分)
已知圆,过点作直线交圆于、两点.
(Ⅰ)当经过圆心时,求直线的方程.
(Ⅱ)当直线的倾斜角为时,求弦的长.
(Ⅲ)求直线被圆截得的弦长时,求以线段为直径的圆的方程.
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【题目】(本小题满分分)
已知半径为的圆的圆心在轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线相切.
(Ⅰ)求圆的方程.
(Ⅱ)设直线与圆相交于, 两点,求实数的取值范围.
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,是否存在实数,使得点到, 两点的距离相等,若存在,求出实数的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】将函数f(x)= sin(2x﹣ )+1的图象向左平移 个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到函数g(x)的图象,则函数g(x)具有性质 . (填入所有正确性质的序号)
①最大值为 ,图象关于直线x= 对称;
②在(﹣ ,0)上单调递增,且为偶函数;
③最小正周期为π.
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【题目】定义在上的函数,如果满足:对任意,存在常数,都有成立,则称是上的有界函数,其中称为函数的上界,已知函数.
(Ⅰ)若是奇函数,求的值.
(Ⅱ)当时,求函数在上的值域,判断函数在上是否为有界函数,并说明理由.
(Ⅲ)若函数在上是以为上界的函数,求实数的取值范围.
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【题目】父亲节小明给爸爸从网上购买了一双运动鞋,就在父亲节的当天,快递公司给小明打电话话说鞋子已经到达快递公司了,马上可以送到小明家,到达时间为晚上6点到7点之间,小明的爸爸晚上5点下班之后需要坐公共汽车回家,到家的时间在晚上5点半到6点半之间。求小明的爸爸到家之后就能收到鞋子的概率(快递员把鞋子送到小明家的时候,会把鞋子放在小明家门口的“丰巢”中)为 __________.
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