【题目】已知=(sinx,cosx),
=(cosφ,sinφ)(|φ|<
).函数
f(x)= 且f(
-x)=f(x).
(Ⅰ)求f(x)的解析式及单调递增区间;
(Ⅱ)将f(x)的图象向右平移单位得g(x)的图象,若g(x)+1≤ax+cosx在x∈[0,
]上恒成立,求实数a的取值范围.
【答案】(Ⅰ)f(x)=sin(x+),
;(Ⅱ)
.
【解析】试题分析:(1)利用向量的坐标运算得到,再由f(
-x)=f(x)可知函数f(x)的图象关于直线x=
对称,所以
+φ=
+kπ,进而得到φ=
,利用三角函数的性质求解单调区间即可;
(2)将f(x)的图象向右平移单位得g(x)= sinx,即sinx+1≤ax+cosx在x∈[0,
]上恒成立,利用数形结合分别研究h(x)=sinx-cosx和φ(x)= ax—1即可.
试题解析:
(Ⅰ)∵f(x)==sinxcosφ+cosxsinφ=sin(x+φ),
再由f(-x)=f(x)可知函数f(x)的图象关于直线x=
对称,
∴+φ=
+kπ,k∈Z,又|φ|<
,∴φ=
∴f(x)=sin(x+),
由2kπ-≤ x+
≤2kπ+
可得2kπ-
≤x≤ 2kπ+
,
∴函数的递增区间为[2kπ-,2kπ+
],k∈Z;
(Ⅱ)由图象平移易知g(x)=sinx,即sinx+1≤ax+cosx在x∈[0,]上恒成立.
也即sinx-cosx≤ax-1在x∈[0,]上恒成立.
令h(x)=sinx-cosx=sin(x-
),x∈[0,
];
φ(x)= ax-1
如下图:h(x)的图象在φ(x)图象的下方,
则: a ≥kAB==
,故
.
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【题目】已知函数f(x)=m-|x-1|-|x-2|,m∈R,且f(x+1)≥0的解集为[0,1].
(1)求m的值;
(2)若a,b,c,x,y,z∈R,且x2+y2+z2=a2+b2+c2=m,求证:ax+by+cz≤1.
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【题目】我们知道:人们对声音有不同的感觉,这与它的强度有关系.声音的强度用瓦/米2 (
)表示,但在实际测量时,常用声音的强度水平
表示,它们满足以下公式:
(单位为分贝,
,其中
,这是人们平均能听到的最小强度,是听觉的开端).回答以下问题:
(1)树叶沙沙声的强度是,耳语的强度是
,恬静的无线电广播的强度是
,试分别求出它们的强度水平;
(2)某一新建的安静小区规定:小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下,试求声音强度的范围为多少?
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【题目】在如图所示的几何体中,四边形是正方形,
平面
,
分别为
的中点,且
.
(1)求证:平面平面
;
(2)求证:平面平面
;
(3)求三棱锥与四棱锥
的体积之比.
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【题目】设f(x)是R上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,则f(-2),f(3),f(-)的大小顺序是:( )
A. f(-)>f(3)>f(-2) B. f(-
) >f(-2)>f(3)
C. f(-2)>f(3)> f(-) D. f(3)>f(-2)> f(-
)
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【题目】已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2.
(I)若f(x)在x=1处有极值10,求a,b的值;
(II)若当a=-1时,f(x)<0在x∈[1,2]恒成立,求b的取值范围
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【题目】在直角坐标系中,以原点
为极点,以
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线的直角坐标方程并指出其形状;
(2)设是曲线
上的动点,求
的取值范围.
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