Question

【题目】已知函数f（x）=|x+1|﹣|x|+a．
（1）若a=0，求不等式f（x）≥0的解集；
（2）若方程f（x）=x有三个不同的解，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=0时， ，

所以当x＜﹣1时，f（x）=﹣1＜0，不合题意；

当﹣1≤x＜0时，f（x）=2x+1≥0，解得 ；

当x≥0时，f（x）=1＞0，符合题意．

综上可得，f（x）≥0的解集为

（2）解：设u（x）=|x+1|﹣|x|，y=u（x）的图象和y=x的图象如图所示．

易知y=u（x）的图象向下平移1个单位以内（不包括1个单位），与y=x的图象始终有3个交点，

从而﹣1＜a＜0．

所以实数a的取值范围为（﹣1，0）

【解析】（1）若a=0，求得函数f（x）的解析式，根据解析式分别求得f（x）≥0的解集；（2）u（x）=|x+1|﹣|x|，做出y=u（x）和y=x的图象，方程f（x）=x恰有三个不同的实根，转化成y=u（x）与y=x的图象始终有3个交点，根据函数图象即可求得实数a的取值范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解绝对值不等式的解法的相关知识，掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．