Question

15．已知双曲线以两坐标轴为对称轴，点（$\frac{16}{5}$，$\frac{12}{5}$）是其准线和渐近线的交点，求双曲线的标准方程．

Answer 1

分析 讨论焦点的位置，可设双曲线的方程，求得准线方程和渐近线方程，由题意可得方程，解方程即可得到所求双曲线的方程．

解答 解：若焦点在x轴上，设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0），
则渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，准线方程为x=±$\frac{{a}^{2}}{c}$，
由题意可得$\frac{{a}^{2}}{c}$=$\frac{16}{5}$，$\frac{12}{5}$=$\frac{16}{5}$•$\frac{b}{a}$，
又a²+b²=c²，
解得a=4，b=3，c=5，
即有双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1；
若焦点在y轴上，设双曲线的方程为$\frac{{y}^{2}}{a{′}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{b{′}^{2}}$=1（a'，b'＞0），
则渐近线方程为y=±$\frac{a′}{b′}$x，准线方程为y=±$\frac{a{'}^{2}}{c'}$，
由题意可得$\frac{a{'}^{2}}{c'}$=$\frac{12}{5}$，$\frac{12}{5}$=$\frac{16}{5}$•$\frac{a′}{b′}$，
又a'²+b'²=c'²，
解得a'=4，b'=$\frac{16}{3}$，
即有双曲线的标准方程为$\frac{{y}^{2}}{16}$-$\frac{{x}^{2}}{\frac{256}{9}}$=1．
综上可得，双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1或$\frac{{y}^{2}}{16}$-$\frac{{x}^{2}}{\frac{256}{9}}$=1．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，考查准线方程和渐近线方程的应用，考查运算能力，属于基础题．