已知函数f(x)的定义域为R,且对于一切实数x满足f(x+2)=f(2-x),f(x+7)=f(7-x)
(1)若f(5)=9,求:f(-5);
(2)已知x∈[2,7]时,f(x)=(x-2)2,求当x∈[16,20]时,函数g(x)=2x-f(x)的表达式,并求出g(x)的最大值和最小值;
(3)若f(x)=0的一根是0,记f(x)=0在区间[-1000,1000]上的根数为N,求N的最小值.
【答案】
分析:(1)将f(x+2)=f(2-x)中的x用x-2代替得到f(x)=f(4-x),再将f(x+7)=f(7-x)中的x用3+x代替得到f(10+x)=f(4-x);求出函数的周期;利用周期求出f(-5)
(2)由于x∈[16,17],x-10∈[6,7],求出f(x-10)的值;利用函数的周期性求出f(x);同样的方法求出其它各范围内的解析式;求出g(x)的解析式;求出g(x)各段的最值,比较各段最值求出g(x)的最值.
(3)据对称性求出在一个周期上的根的个数;求出区间含周期的个数,求出区间内根的个数.
解答:解(1)由f(x+2)=f(2-x)及f(x+7)=f(7-x)得:f(x)的图象关于直线x=2,x=7对称.
∴f(x)=f[(x-2)+2]
=f[2-(x-2)]=f(4-x)
=f[7-(3+x)]=f(7+(3+x))
=f(x+10)
∴f(x)是以10为周期的周期函数.
∴f(-5)=f(-5+10)=f(5)=9
(2)当x∈[16,17],x-10∈[6,7]
∴f(x)=f(x-10)=(x-10-2)
2=(x-12)
2当x∈(17,20],x-20∈(-3,0],4-(x-20)∈[4,7)
∴f(x)=f(x-20)=f[4-(x-20)]
=f(24-x)=(x-22)
2∴g(x)=
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213640879063017/SYS201310232136408790630029_DA/0.png)
∵x∈[16,17]时,g(x)最大值为16,最小值为9;x∈(17,20],g(x)>g(17)=9,g(x)≤g(20)=36
∴g(x)的最大值为36,最小值为9.
(3)由f(0)=0,及f(0)=f(4)=0,知f(0)在[0,10)上至少有两个解.
而在[-1000,1000)上有200个周期,至少有400个解.又f(1000)=0
所以最少有401个解.且这401个解的和为-200.
点评:本题考查据函数周期的定义求函数的周期、考查利用函数的周期性求函数的解析式、
考查利用函数的周期性求函数的根的个数.