Question

5．已知直线l：y=k（x-2）与抛物线C：y²=8x交于A，B两点，点M（-2，4）满足$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=0，则|AB|=（　　）

• A． 6
• B． 8
• C． 10
• D． 16

Answer 1

分析 先根据抛物线方程求得焦点坐标，直线y=k（x-2）过抛物线的焦点，将直线方程代入抛物线方程消去y，根据韦定理表示出x₁+x₂及x₁x₂进而求得y₁y₂和y₁+y₂，由$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=0即可求得k的值，由弦长公式即可求得|AB|．

解答 解：由抛物线C：y²=8x可得焦点F（2，0），直线y=k（x-2）过抛物线的焦点，
代入抛物线方程，得到k²x²-（4k²+8）x+4k²=0，△＞0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∴x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}+8}{{k}^{2}}$，x₁x₂=4．
∴y₁+y₂=$\frac{8}{k}$，y₁y₂=-16，
M（-2，4），$\overrightarrow{MA}$═（x₁+2，y₁-4），$\overrightarrow{MB}$=（x₂+2，y₂-4），
$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=（x₁+2，y₁-4）•（x₂+2，y₂-4）=x₁x₂+2（x₁+x₂）+4+y₁y₂-4（y₁+y₂）+16=0，
整理得：k²-2k+1=0，解得k=1，
∴x₁+x₂=12，x₁x₂=4．
|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{1{2}^{2}-4×4}$=16，
故答案选：D．

点评 本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的标准方程及其性质、向量的数量积公式、弦长公式等基础知识与基本技能方法，考查学生的计算能力，属于中档题．