Question

某机床厂今年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利总额y元．
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）从第几年开始，该机床开始盈利？
（3）使用若干年后，对机床的处理有两种方案：①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；②当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）赢利总额y元即x年中的收入50x减去购进机床的成本与这x年中维修、保养的费用，维修、保养的费用历年成等差数增长，，
（2）由（1）的结论解出结果进行判断得出何年开始赢利．
（3）算出每一种方案的总盈利，比较大小选择方案．

解答：解：（1）y=-2x²+40x-98，x∈N^*．
（2）由-2x²+40x-98＞0解得，10-

51

＜x＜10+

51

，且x∈N^*，
所以x=3，4，，17，故从第三年开始盈利．
（3）由

y

x

=40-(2x+

98

x

)≤40-2

2×98

=12，当且仅当x=7时“=”号成立，
所以按第一方案处理总利润为-2×7²+40×7-98+30=114（万元）．
由y=-2x²+40x-98=-2（x-10）²+102≤102，
所以按第二方案处理总利润为102+12=114（万元）．
∴由于第一方案使用时间短，则选第一方案较合理．

点评：考查审题及将题中关系转化为数学符号的能力，其中第二问中考查了一元二次不等式的解法，第三问中考查到了基本不等式求最值，本题是一个函数基本不等式相结合的题．属应用题中盈利最大化的问题．