Question

已知函数f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R）．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若对任意a∈[3，4]，函数f（x）在R上都有三个零点，求实数b的取值范围．

Answer 1

（1）解：因为f（x）=-x³+ax²+b，
所以．…（1分）
当a=0时，f'（x）≤0，函数f（x）没有单调递增区间；…（2分）
当a＞0时，令f'（x）＞0，得．
故f（x）的单调递增区间为；…（3分）
当a＜0时，令f'（x）＞0，得．
故f（x）的单调递增区间为．…（4分）
综上所述，当a=0时，函数f（x）没有单调递增区间；
当a＞0时，函数f（x）的单调递增区间为；
当a＜0时，函数f（x）的单调递增区间为．…（5分）
（2）解：，由（1）知，a∈[3，4]时，
f（x）的单调递增区间为，
单调递减区间为（-∞，0）和．…（6分）
所以函数f（x）在x=0处取得极小值f（0）=b，…（7分）
函数f（x）在处取得极大值．…（8分）
由于对任意a∈[3，4]，函数f（x）在R上都有三个零点，
所以即…（10分）
解得．…（11分）
因为对任意a∈[3，4]，恒成立，
所以．…（13分）
所以实数b的取值范围是（-4，0）．…（14分）
分析：（1）因为f（x）=-x³+ax²+b，所以，由此根据a的取值范围进行分类讨论，能够求出函数f（x）的单调递增区间．
（2）由（1）知，a∈[3，4]时，f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为（-∞，0）和．所以函数f（x）在x=0处取得极小值f（0）=b．由此利用对任意a∈[3，4]，函数f（x）在R上都有三个零点，能求出实数b的取值范围．
点评：本题主要考查函数的性质、导数、函数零点、不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力．