Question

已知直线y=-x+1与椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）相交于A、B两点．
（1）若椭圆的离心率为

3

3

，焦距为2，求椭圆方程；
（2）在（1）的条件下，求线段AB的长；
（3）若椭圆的离心率e∈(

2

2

，1)，向量

OA

与向量

OB

互相垂直（其中O为坐标原点），求椭圆的长轴的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆的离心率为

3

3

，焦距为2，建立方程，求出几何量，即可求椭圆方程；
（2）直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理结合弦长公式，可求线段AB的长；
（3）直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合椭圆的离心率e∈(

2

2

，1)，向量

OA

与向量

OB

互相垂直，即可求得椭圆的长轴的取值范围．

解答：解：（1）∵e=

c

a

=

3

3

，2c=2，∴a=

3

，b=

a2-c2

=

2

∴椭圆的方程为

x2

3

+

y2

2

=1…（3分）
（2）联立

x2 3 + y2 2 =1 y=-x+1

消去y得：5x²-6x-3=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则x1+x2=

6

5

x1x2=-

3

5

∴|AB|=

1+(-1)2

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

( 6 5 )2+ 12 5

=

8 3

5

…（8分）
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∵

OA

⊥

OB

，∴

OA

•

OB

=0
由

x2 a2 + y2 b2 =1 y=-x+1

消去y得（a²+b²）x²-2a²x+a²（1-b²）=0
由△=（-2a²）²-4a²（a²+b²）（1-b²）＞0整理得a²+b²＞1（*）
又x1+x2=

2a2

a2+b2

，x1x2=

a2(1-b2)

a2+b2

，
∴x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（-x₁+1）（-x₂+1）=2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0
∴

2a2(1-b2)

a2+b2

-

2a2

a2+b2

+1=0整理得：a²+b²-2a²b²=0
∴b²=a²-c²=a²-a²e²
代入上式得∴a2=

1

2

(1+

1

1-e2

)2a2=1+

1

1-e2

∵e∈(

2

2

，1)
∴a2＞

3

2

满足（*）式，
∴2a＞

6

…（14分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．