Question

设函数f(x)=sin(ωx+?)(ω＞0，-

π

2

＜?＜

π

2

)，有下列论断：
①f（x）的图象关于直线x=

π

12

对称；
②f（x）的图象关于(

π

3

，0)对称；
③f（x）的最小正周期为π；
④在区间[-

π

6

，0]上，f（x）为增函数．
以其中的两个论断为条件，剩下的两个论断为结论，写出你认为正确的一个命题：若

①③

，则

②④

．（填序号即可）

Answer 1

分析：经验证可得①③可推②④，由三角函数的对称性和单调性证明即可．

解答：解：由题意可得①③可推②④，下面证明之，
由③f（x）的最小正周期为π，可得

2π

ω

=π，即ω=2，
可得f（x）=sin（2x+?），
又①f（x）的图象关于直线x=

π

12

对称；
故sin（2×

π

12

+?）=±1，即2×

π

12

+?=kπ+

π

2

，k∈Z，
解之可得?=kπ+

π

3

，
又因为-

π

2

＜?＜

π

2

，所以?=

π

3

，
故可得f（x）=sin（2x+

π

3

），
由于sin（2×

π

3

+

π

3

）=sinπ=0，故②f（x）的图象关于(

π

3

，0)对称，正确；
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

可得kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，当k=0时，
单调递增区间为[-

5π

12

，

π

12

]?[-

π

6

，0]，故④在区间[-

π

6

，0]上，f（x）为增函数，正确．
故由①③作为论断可推出②④，
故答案为：①③，②④

点评：本题考查正弦函数的对称性和单调性，作为开放性的题目为本题增加了难度，属中档题．