Question

用定积分定义求由x=2,x=3,y=,y=0围成的图形的面积.

Answer 1

思路分析:定积分的概念产生于分割、近似代替、求和、取极限这四步.故用四步法求定积分要注意解题的层次性,当然本题省略了求极限这一步.

解:在［2,3］上等间隔地插入n-1个点,将它等分成几个小区间［2,2+］,［2+,2+］,…,［2+,3］,记第i个区间为［2+,2+］(i=1,2,…,n),其长度为Δx=.

分别过上述n-1个分点作x轴的垂线,把曲边梯形分成n个小曲边梯形,它们的面积分别为ΔS₁、ΔS₂、…ΔS_n,显然S=,设f(x)=,如图1-5-4所示,当n很大时,Δx很小,在区间［2+,2+］上,可以认为函数f(x)=的值变化很小,近似地等于一个常数,不妨认为它近似地等于ξ_i=处的函数值f(ξ_i)=,这样在区间［2+,2+］上,用小矩形面积ΔS_i′近似地代替ΔS_i,则有ΔS_i≈ΔS_i′=f(ξ_i)·Δx

=·(i=1,2,…,n).

∴S_n=