Question

5．已知|$\overrightarrow{OA}$|=3，|$\overrightarrow{OB}$|=4，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，点P在以O为圆心，1为半径的圆上，若$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，则x+y的最大值为$\frac{5}{12}$．

Answer 1

分析 利用向量的运算得出，|$\overrightarrow{OP}$|²=（x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$）²=x²•|$\overrightarrow{OA}$|²+y²•|$\overrightarrow{OB}$|²+2xy×$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=9x²+16y²=1，
判断点（x，y）在椭圆上，根据三角代换得出x+y=$\frac{1}{3}$cosα+$\frac{1}{4}$sinα，α∈[0，2π），根据三角函数化简求值即可．

解答 解：∵|$\overrightarrow{OA}$|=3，|$\overrightarrow{OB}$|=4，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，点P在以O为圆心，1为半径的圆上，
∴|$\overrightarrow{OP}$|=1
∴点（x，y）在椭圆上，
根据三角代换得出：x=$\frac{1}{3}$cosα，y=$\frac{1}{4}$sinα，α∈[0，2π）
∴x+y=$\frac{1}{3}$cosα+$\frac{1}{4}$sinα，α∈[0，2π），
∵$\frac{1}{3}$cosα+$\frac{1}{4}$sinα≤$\sqrt{\frac{1}{9}+\frac{1}{16}}$=$\frac{5}{12}$，
∴x+y的最大值为$\frac{5}{12}$，
故答案为：$\frac{5}{12}$

点评 本题综合性较大，考察了平面向量的运算，椭圆的方程，三角代换，三角函数式的求值，考察了学生综合运用数学知识解决问题的能力．