分析 画出图形,过P作底面ABC 的垂线,垂足为O,连接AO并延长交BC于E,说明∠PAO为所求,然后再通过求三角形PAO的边长即可求出答案.
解答 解:过P作底面ABC 的垂线,垂足为O,连接AO并延长交BC于E,
因为P为边长为6的正三角形ABC所在平面外一点且PA=PB=PC,P到平面ABC距离为$\sqrt{3}$,
所以O是三角形ABC 的中心,
且∠PAO就是PA与平面ABC所成的角,
∵AO=$\frac{2}{3}$AE=$\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×6$=2$\sqrt{3}$.
且PCA=$\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+(2\sqrt{3})^{2}}$=$\sqrt{15}$,
∴sin∠PAO=$\frac{PO}{PA}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{15}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$;
即PC与平面ABC所成的角正弦函数值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$.
故答案为:$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
点评 本题考查三垂线定理,点、线、面间的距离,直线与平面所成角的求法,考查学生计算能力,逻辑思维能力,是中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | (e,+∞) | B. | $(\frac{1}{e},1)$ | C. | (2,3) | D. | (e,+∞) |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $2\sqrt{2}$ | B. | $4\sqrt{2}$ | C. | 6 | D. | 不存在 |
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