Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，过顶点A任作一条直线l，与异面直线A₁C₁，B₁C所成的角都为60°，则这样的直线l可作（ ）
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条

Answer 1

【答案】分析：根据题意，因为A₁D∥B₁C，所以直线A₁C₁和B₁C所成的角即为直线A₁C₁和A₁D所成的角，所以过A₁在空间作直线l，使l与直线A₁C₁和B₁C所成的角都等于60°，可转化为过点A在空间作直线l，使l与直线A₁C₁和A₁D所成的角都等于 60°．可分在平面ACD₁内和在平面ACD₁外两种情况寻找．因为要与直线A₁C₁和A₁D所成的角都相等，故在平面ACD₁内可考虑角平分线；在平面ACD₁外可将角平分线绕点A旋转考虑．
解答：解：因为A₁D∥B₁C，所以直线A₁C₁和B₁C所成的角即为直线A₁C₁和A₁D所成的角，所以过A₁在空间作直线l，使l与直线A₁C₁和B₁C所成的角都等于60°，可转化为过点A在空间作直线l，使l与直线A₁C₁和A₁D所成的角都等于 60°．
因为∠ACD₁=60°，∠ACD₁的外角平分线与A₁C₁和A₁D所成的角相等，均为60°，所以在平面ACD₁内有一条满足要求．
因为∠ACD₁的角平分线与A₁C₁和A₁D所成的角相等，均为30°，将角平分线绕点A向上转动到与面ACD₁垂直的过程中，存在两条直线与直线A₁C₁和B₁C所成的角都等于60°，故符合条件的直线有3条．
故选C．
点评：本题考查异面直线所成角的问题，考查空间想象能力和转化能力，属于中档题．