【题目】已知正项数列{an},a1=1,an=an+12+2an+1(Ⅰ)求证:数列{log2(an+1)}为等比数列:
(Ⅱ)设bn=n1og2(an+1),数列{bn}的前n项和为Sn , 求证:1≤Sn<4.
【答案】解:(Ⅰ)∵an=an+12+2an+1 , ∴an+1=(an+1+1)2 ,
∵an>0,
∴2log2(an+1+1)=log2(an+1),
即log2(an+1+1)= log2(an+1),
即数列{log2(an+1)}是1为首项, 为公比的等比数列:
(Ⅱ)∵数列{log2(an+1)}是1为首项, 为公比的等比数列:
∴log2(an+1)= ,
设bn=n1og2(an+1)=n ,
则数列{bn}的前n项和为Sn=1+ ,
Sn= .
两式相减得 Sn=1+ =2[1﹣( )n]﹣ ,
∴Sn=4﹣ .
∵bn=n >0,
∴Sn≥S1=1,
∴1≤Sn<4
【解析】(Ⅰ)根据数列的递推关系结合等比数列的定义即可证明数列{log2(an+1)}为等比数列:(Ⅱ)求出bn=n1og2(an+1)的表达式,利用错位相减法即可求出数列{bn}的前n项和为Sn .
【考点精析】本题主要考查了等比关系的确定和数列的前n项和的相关知识点,需要掌握等比数列可以通过定义法、中项法、通项公式法、前n项和法进行判断;数列{an}的前n项和sn与通项an的关系才能正确解答此题.
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【题目】已知椭圆短轴端点和两个焦点的连线构成正方形,且该正方形的内切圆方程为.
(1)求椭圆的方程;
(2)若抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合,直线与抛物线交于两点,且,求的面积的最大值.
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【题目】如图,在四棱锥中,底面是菱形, 平面, 是棱上的一个动点.
(Ⅰ)若为的中点,求证: 平面;
(Ⅱ)求证:平面平面;
(Ⅲ)若三棱锥的体积是四棱锥体积的,求的值.
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【题目】在直角坐标系中,曲线的参数方程是(为参数),以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(Ⅰ)写出曲线的直角坐标方程;
(Ⅱ)设点. 分别在.上运动,若的最小值为1,求的值.
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【题目】某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为 和 .现安排甲组研发新产品A,乙组研发新产品B,设甲、乙两组的研发相互独立. (Ⅰ)求至少有一种新产品研发成功的概率;
(Ⅱ)若新产品A研发成功,预计企业可获利润120万元;若新产品B研发成功,预计企业可获利润100万元,求该企业可获利润的分布列和数学期望.
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【题目】函数f(x)=6cos2 + sinωx﹣3(ω>0)在一个周期内的图象如图所示,A为图象的最高点,B、C为图象与x轴的交点,且△ABC为正三角形.
(1)求ω的值及函数f(x)的值域;
(2)若f(x0)= ,且x0∈(﹣ , ),求f(x0+1)的值.
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