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在海岸A处,发现北偏东45°方向,距离A数学公式nmile的B处有一艘走私船,在A处北偏西75°的方向,距离A2nmile的C处的缉私船奉命以数学公式nmile/h的速度追截走私船,此时,走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜.
(1)求线段BC的长度;
(2)求∠ACB的大小;
(参考数值:数学公式
(3)问缉私船沿北偏西多少度的方向能最快追上走私船?

解:(1)在△ABC中,∠CAB=45°+75°=120°,…(1分)
由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB•ACcos∠CAB…(2分)
=+22-2×(-1)×2×(-)=6,…(3分)
所以,BC=.…(4分)
(2)在△ABC中,由正弦定理,得=
所以,sin∠ACB=…(6分)
==.…(7分)
又∵0°<∠ACB<60°,
∴∠ACB=15°.…(8分)
(3)设缉私船用t h在D处追上走私船,如图,
则有CD=10t,BD=10t.
在△ABC中,
又∠CBD=90°+30°=120°,
在△BCD中,由正弦定理,得
sin∠BCD= …(8分)
==.…(10分)
∴∠BCD=30°,
又因为∠ACB=15°…(12分)
所以1800-(∠BCD+∠ACB+75°)=180°-(30°+15°+75°)=60°
即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船.?…(14分)
分析:(1)在△ABC中,∠CAB=120°由余弦定理可求得线段BC的长度;
(2)在△ABC中,由正弦定理,可求得sin∠ACB;
(3)设缉私船用t h在D处追上走私船,CD=10t,BD=10t,在△ABC中,可求得∠CBD=120°,再在△BCD中,由正弦定理可求得sin∠BCD,从而可求得答案.
点评:本题考查余弦定理与正弦定理,考查解三角形,考查综合分析与运算能力,属于难题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

在海岸A处,发现北偏东45°方向,距A处(
3
-1)海里的B处有一艘走私船,在A处北偏西75°方向,距A处2海里的C处的缉私船奉命以10
3
海里/小时的速度追截走私船,此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°的方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船,并求出所需要的时间.

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科目:高中数学 来源: 题型:

在海岸A处,发现北偏东45°方向,距离A为(
3
-1)
n mile的B处有一艘走私船,在A处北偏西75°方向,距离A为2n mile的C处有一艘缉私艇奉命以10
3
n mile/h的速度追截走私船,此时,走私船正以10n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜,问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船?并求出所需时间.(本题解题过程中请不要使用计算器,以保证数据的相对准确和计算的方便)

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科目:高中数学 来源: 题型:

在海岸A处,发现北偏东45°方向,距A处(
3
-1
)海里的B处有一艘走私船,在A处北偏西75°的方向,距离A处2海里的C处的缉私船奉命以10
3
海里/每小时的速度追截走私船,此时,走私船正以10海里/每小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜.问:缉私船沿什么方向能最快追上走私船?

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科目:高中数学 来源: 题型:

在海岸A处,发现北偏东45°方向,距离A(
3
-1)
nmile的B处有一艘走私船,在A处北偏西75°的方向,距离A2nmile的C处的缉私船奉命以10
3
nmile/h的速度追截走私船,此时,走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜.
(1)求线段BC的长度;
(2)求∠ACB的大小;
(参考数值:sin15°=
6
-
2
4
,cos15°=
6
+
2
4

(3)问缉私船沿北偏西多少度的方向能最快追上走私船?

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科目:高中数学 来源:2015届湖南省高一4月段考数学试卷(解析版) 题型:解答题

在海岸A处,发现北偏东45°方向距A为-1海里的B处有一艘走私船,在A处北偏西75°的方向,距A为2海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船.此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜,问缉私船沿着什么方向能最快追上走私船?并求出所需要的时间.(注:≈2.449)

 

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