Question

已知数列，
（Ⅰ）计算a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）令b_n=a_n+1-a_n-1，求证：数列{b_n}是等比数列；
（Ⅲ）设S_n、T_n分别为数列{a_n}、{b_n}的前n项和，是否存在实数λ，使得数列为等差数列？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根据点（n，2a_n+1-a_n）在直线y=x上，可得2a_n+1-a_n=n，代入计算可得a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）利用b_n=a_n+1-a_n-1，及2a_n+1-a_n=n，即可证明数列{b_n}是等比数列；
（Ⅲ）求得数列的前三项，求得λ，再验证即可求得结论．
解答：（Ⅰ）解：由题意，∵点（n，2a_n+1-a_n）在直线y=x上，
∴2a_n+1-a_n=n
∵，∴，
同理，，；
（Ⅱ）证明：∵b_n=a_n+1-a_n-1，2a_n+1-a_n=n
∴b_n+1=a_n+2-a_n+1-1=-a_n+1-1=（a_n+1-a_n-1）=b_n，
∵b₁=a₂-a₁-1=-
∴数列{b_n}是以-为首项，为公比的等比数列；
（Ⅲ）解：存在λ=2，使数列是等差数列．
由（Ⅱ）知，，，
∵a_n+1=n-1-b_n=n-1+，∴a_n=n-2+，
∴S_n==
由题意，要使数列是等差数列，则
∴2×=-λ+，∴λ=2
当λ=2时，=，数列是等差数列
∴当且仅当λ=2时，数列是等差数列．
点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的定义，考查是否存在性问题的探究，考查学生的计算能力，综合性强．