Question

设两向量

e1

，

e2

满足|

e1

|=2，|

e2

|=1，

e1

、

e2

的夹角为60°，
（1）试求|3

e1

+

e2

|
（2）若向量2t

e1

+7

e2

与向量

e1

+t

e2

的夹角余弦值为非负值，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用向量的数量积公式，结合题意算出

e1

•

e2

=1．再由向量模的公式和数量积的运算性质加以计算，即可算出|3

e1

+

e2

|的值；
（2）根据题意，可得2t

e1

+7

e2

与

e1

+t

e2

的数量积大于或等于0，由此建立关于

e1

²、

e1

•

e2

、

e2

²和t的不等式，代入数据化简得到关于t的一元二次不等式，解之即可得出实数t的取值范围．

解答：解：（1）由题意，可得
∵|

e1

|=2，|

e2

|=1，

e1

、

e2

的夹角为60°，
∴

e1

•

e2

=|

e1

|•|

e2

|cos60°=1．
因此，|3

e1

+

e2

|=

(3 e1 + e2 )2

=

9| e1 |2+6 e1 • e2 +| e2 |2

=

9×22+6×1+12

=

43

；
（2）∵向量2t

e1

+7

e2

与向量

e1

+t

e2

的夹角余弦值为非负值，
∴（2t

e1

+7

e2

）•（

e1

+t

e2

）≥0，
即2t

e1

²+（7+2t²）

e1

•

e2

+7t

e2

²≥0，
∵|

e1

|=2，|

e2

|=1，

e1

•

e2

=1，
∴不等式可化为2t×4+（7+2t²）×1+7t×1≥0，
化简得2t²+15t+7≥0，
解得t≤-7或t≥-

1

2

．
即满足条件的实数t的取值范围为：(-∞，-7]∪[-

1

2

，+∞)．

点评：本题给出向量

e1

、

e2

的模与夹角，求3

e1

+

e2

的模，并讨论2t

e1

+7

e2

与

e1

+t

e2

的夹角问题．着重考查了平面向量的数量积及其运算性质、向量模的公式和一元二次不等式的解法等知识，属于中档题．