Question

已知函数f（x）=mx³-（2+）x²+4x+1，g（x）=mx+5
（Ⅰ）当m≥4时，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）是否存在m＜0，使得对任意的x₁，x₂∈[2，3]都有f（x₁）-g（x₂）≤1？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵，∴f′（x）=mx²-（4+m）x+4=（mx-4）（x-1）
1）若m＞4，则，此时都有，
有f′（x）＜0，∴f（x）的单调递增区间为和[[1，+∞）；
2）若m=4，则f′（x）=4（x-1）²≥0，∴f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞）．
（Ⅱ）当m＜0时，且
∴当2≤x≤3时，都有f′（x）＜0
∴此时f（x）在[2，3]上单调递减，∴
又g（x）=mx+5在[2，3]上单调递减，∴g（x）_min=g（3）=3m+5
∴，解得，又m＜0，
所以
分析：（1）利用导数研究函数的单调性．由于参数m决定了与1的大小关系，从而决定导数的正负，因此必须进行分类讨论，通过比较与1的大小，求出函数的单调增区间；
（2）先假设存在，将对任意的x₁，x₂∈[2，3]都有f（x₁）-g（x₂）≤1转化为f（x）_max-f（x）_min≤1，从而得到关于m的不等式，求出m的取值范围．
点评：利用导数研究含参函数的单调区间，关键是解不等式，因此要研究不等式所对应的方程根的大小，同时应注意对参数的讨论；研究是否存在问题，通常先假设存在，转化为封闭性问题，对于任意性的恒成立问题，一般应利用到函数的最值，而最值的确定又通常利用导数的方法解决．