Question

3．设f（x）=ax²-（a+1）x+a．
（1）若a=2，解关于x的不等式f（x）＞1；
（2）若对任意x＞0，不等式f（x））＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将a=2代入，不等式f（x）=2x²-3x+2＞1可化为：2x²-3x+1＞0，解得答案；
（2）结合二次函数的图象和性质，分类讨论满足不等式f（x）＞0恒成立时的实数a的取值范围，综合讨论结果，可得答案．

解答 解：（1）若a=2，则不等式f（x）=2x²-3x+2＞1可化为：
2x²-3x+1＞0，
解得：x∈（-∞，$\frac{1}{2}$）∪（1，+∞），
（2）当a＜0时，函数图象是开口朝下的抛物线，对任意x＞0，不等式f（x）＞0不可能恒成立，
当a=0时，函数图象是从左到右下降的直线，不等式f（x）＞0不可能恒成立，
当a＞0时，函数图象是开口朝上，且以直线x=$\frac{a+1}{a}$＞0为对称轴的抛物线，
若不等式f（x）＞0恒成立，
则f（$\frac{a+1}{a}$）=$\frac{4{a}^{2}-（a+1）^{2}}{4a}$＞0，解得：a＞1，或$-\frac{1}{3}$＜a＜0（舍去），
综上可得：a＞1．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．