Question

4．在正棱柱ABCD一A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB，若E，F分别为线段A₁D₁，CC₁的中点．求：
（1）直线EF与平面ABB₁A₁所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{182}}{14}$．
（2）二面角A₁-DB-C₁的余弦值；
（3）二面角A₁-DB-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线EF与平面ABB₁A₁所成角的余弦值．
（2）求出平面DBA₁的法向量和平面DBC₁的法向量，利用向量法能求出二面角A₁-DB-C₁的余弦值．
（3）求出平面BDA₁的法向量和平面BDC的法向量，利用向量法能求出二面角A₁-DB-C的余弦值．

解答 解：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设AA₁=2AB=4，
则E（1，0，4），F（0，2，2），$\overrightarrow{EF}$=（-1，2，-2），
又平面ABB₁A₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
设直线EF与平面ABB₁A₁所成角为θ，
sinθ=$\frac{|\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{EF}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|（-1）×1+2×0+（-2）×0|}{|\sqrt{（-1）^{2}+{2}^{2}+（-2）^{2}}||\sqrt{{1}^{2}+{0}^{2}+{0}^{2}}|}$=$\frac{1}{3}$，
∴cosθ=$\sqrt{1-si{n}^{2}θ}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．即直线EF与平面ABB₁A₁所成角的余弦值为$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
故答案为$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
（2）D（0，0，0），A（2，0，0），A₁（2，0，4），C₁（0，2，4），B（2，2，0），
$\overrightarrow{DB}$=（2，2，0），$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（2，0，4），$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=（0，2，4），
设平面DBA₁的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=2x+4z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DB}=2x+2y=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{m}=（-2，2，1）$，
设平面DBC₁的法向量$\overrightarrow{p}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{DB}=2a+2b=0}\\{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{D{C}_{1}}=2b+4c=0}\end{array}\right.$，取c=1，得$\overrightarrow{p}$=（2，-2，1），
设二面角A₁-DB-C₁的平面角为α，
则cosα=|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{p}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{p}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{p}|}$|=|$\frac{-4-4+1}{\sqrt{9}•\sqrt{9}}$|=$\frac{7}{9}$，
∴二面角A₁-DB-C₁的余弦值为$\frac{7}{9}$．
（3）平面BDA₁的法向量$\overrightarrow{m}$=（-2，2，1），平面BDC的法向量$\overrightarrow{C{C}_{1}}$=（0，0，4），
设二面角A₁-DB-C的平面角为β，
则cosβ=|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{C{C}_{1}}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{C{C}_{1}}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{C{C}_{1}}|}$|=|$\frac{4}{4\sqrt{9}}$|=$\frac{1}{3}$，
∴二面角A₁-DB-C的余弦值为$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．