Question

15．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF，若|AB|=10，|AF|=6，cos∠FAB=$\frac{3}{5}$，则C的离心率为（　　）

• A． $\frac{7}{5}$
• B． $\frac{5}{7}$
• C． $\frac{4}{5}$
• D． $\frac{6}{7}$

Answer 1

分析 利用余弦定理求得丨BF丨，则AF⊥BF，根据椭圆的定义，即可求得a的值，由矩形的对角线性质，即可求得c的值，即可求得椭圆的离心率．

解答 解：在△ABF中，由余弦定理可知cos∠FAB=$\frac{丨{AF丨}^{2}+丨AB{丨}^{2}-丨FB{丨}^{2}}{2丨AF丨•丨AB丨}$=$\frac{3}{5}$，
解得：丨BF丨=8，
∴∠BFA=$\frac{π}{2}$，即AF⊥BF，
取椭圆右焦点F′，连接AF′，由对称性知AF∥BF′，AF=BF′，又AF⊥BF，
丨AF丨+丨AF′丨=丨AF丨+丨BF丨=14=2a，则a=7
∴四边形AFBF′是矩形，故丨FF′丨=丨AB丨=10，即2c=10，c=5
∴椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{7}$，
故选B．

点评 本题考查椭圆的简单几何性质，考查余弦定理，椭圆的定义，考查计算能力，属于中档题．