Question

已知函数f(x)=

x

2x+1

，x∈(0，+∞)，数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（a_n）；数列{b_n}满足b1=

1

2

，bn+1=

1

1-2f(Sn)

，其中S_n为数列{b_n}前n项和，n=1，2，3…
（1）求数列{a_n}和数列{b_n}的通项公式；
（2）设Tn=

1

a1b1

+

1

a2b2

+…+

1

anbn

，证明T_n＜5．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=

x

2x+1

，知an+1=f(an) =

an

2an+1

，所以

1

an+1

=

1

an

-2，an=

1

2n-1

(n∈N*)．由bn+1=

1

1-2f(Sn)

，知bn+1=

1

1- 2Sn 2Sn+1

=2Sn+1，由此能求出数列{a_n}和数列{b_n}的通项公式．
（2）依题意Tn=2+

1

2

[3×1+5×

1

3

+7×(

1

3

)2+…+(2n-1)×(

1

3

)n-2]，令An=3×1+5×

1

3

+7×(

1

3

)2+…+(2n-1)×(

1

3

)n-2，由错位相减法能求出An= 6-

3

2

×(

1

3

)n-2-

2n-1

2

×(

1

3

)n-2，所以Tn=2+

1

2

[6-

3

2

×(

1

3

)n-2-

2n-1

2

×(

1

3

)n-2]=5-

3

4

×(

1

3

)n-2-

2n-1

2

×(

1

3

)n-2＜5．

解答：解：（1）∵f（x）=

x

2x+1

，∴an+1=f(an) =

an

2an+1

，
∴

1

an+1

=

1

an

+2，
∴{

1

an

}是以

1

a1

=1为首项，以2为公差的等差数列，
∴

1

an

=1+(n-1)×2，
∴an=

1

2n-1

(n∈N*)，又∵f(x)=

x

2x+1

，bn+1=

1

1-2f(Sn)

，
∴bn+1=

1

1- 2Sn 2Sn+1

=2Sn+1，
b_n+2=2S_n+1+1，
∴b_n+2-b_n+1=2（S_n+1-S_n），
∴b_n+2=3b_n+1，∵b1=

1

2

，b₂=2S₁+1=2，
∴{b_n}从第二项起成等比数列，公比为3，
∴bn=

1 2 ，n=1 2•3n-2，n≥2

．
（2）证明：依题意
Tn=2+

1

2

[3×1+5×

1

3

+7×(

1

3

)2+…+(2n-1)×(

1

3

)n-2]，
令An=3×1+5×

1

3

+7×(

1

3

)2+…+(2n-1)×(

1

3

)n-2，①

1

3

An=3×

1

3

+5×(

1

3

)2+7×(

1

3

)3+…+(2n-1)×(

1

3

)n-1，②
①-②，得

2

3

An=3×1+2[

1

3

+(

1

3

)2+(

1

3

)3+…+(

1

3

)n-2]-(2n-1)•(

1

3

)n-1
=3+2×

1 3 [1-( 1 3 )n-2]

1- 1 3

-(2n-1)×(

1

3

)n-1
∴An= 6-

3

2

×(

1

3

)n-2-

2n-1

2

×(

1

3

)n-2，
∴Tn=2+

1

2

[6-

3

2

×(

1

3

)n-2-

2n-1

2

×(

1

3

)n-2]
=5-

3

4

×(

1

3

)n-2-

2n-1

2

×(

1

3

)n-2＜5．
即T_n＜5．

点评：本题考查数列与函数的综合，解题时要认真审题，仔细解答，注意错位相减法的合理运用．易错点是计算量大，在计算过程中容易出错．