Question

已知函数f(x)=

1

3

x3-mx2+

3

2

mx(m＞0)．
（1）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程；
（2）讨论函数y=f（x）的单调性；
（3）若函数f（x）既有极大值，又有极小值，且当0≤x≤4m时，f(x)≤mx2+(

3

2

m-3m2)x+

32

3

恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）m=2时，f(x)=

1

3

x3-2x2+3x，f′（x）=x²-4x+3，由此能求出函数在（0，0）处切线方程．
（2）函数f（x）的定义域为R，f′(x)=x2-2mx+

3

2

m，方程x2-2mx+

3

2

m=0的判别式△=4m²-6m，由此入手能够分类讨论函数y=f（x）的单调性．
（3）由f′(x)=x2-2mx+

3

2

m=0有两不等根，△=4m²-6m＞0，即m＞

3

2

，令g（x）=f(x)-mx2-(

3

2

m-3m2)x-

32

3

=

1

3

x3-2mx2+3m2x-

32

3

，由此能求出m的取值范围．

解答：解：（1）m=2时，f(x)=

1

3

x3-2x2+3x，
f′（x）=x²-4x+3，
函数在（0，0）处切线的斜率为f′（0）=3，
∴在（0，0）处切线方程为：3x-y=0．
（2）函数f（x）的定义域为R，
f′(x)=x2-2mx+

3

2

m，
方程x2-2mx+

3

2

m=0的判别式△=4m²-6m，
①当△=4m²-6m≤0，即0＜m≤

3

2

时，f′（x）≥0对一切实数恒成立，
∴f（x）在（-∞，+∞）上单调递增；
②当△=4m²-6m＞0，即m＞

3

2

时，
方程x2-2mx+

3

2

m=0有两不等实根，
x1=m-

m2- 3 2 m

，x2=m+

m2- 3 2 m

，
当x∈（-∞，x₁）及（x₂，+∞）时，
f′（x）＞0，∴f（x）单调递增；
当x∈（x₁，x₂）时，
f′（x）＜0，∴f（x）单调递减．
综上所述，当0＜m≤

3

2

时，
f（x）在（-∞，+∞）上单调递增；
当m＞

3

2

时，f（x）在(-∞，m-

m2- 3 2 m

)及(m+

m2- 3 2 m

，+∞)上单调递增，
在(m-

m2- 3 2 m

，m+

m2- 3 2 m

)上单调递减．
（3）由（2）知方程f′(x)=x2-2mx+

3

2

m=0有两不等根，
△=4m²-6m＞0，即m＞

3

2

，
令g（x）=f(x)-mx2-(

3

2

m-3m2)x-

32

3

=

1

3

x3-2mx2+3m2x-

32

3

，
要使f(x)≤mx2+(

3

2

m-3m2)x+

32

3

对0≤x≤4m的实数恒成立，
只需g（x）_max≤0即可，
下面求g（x）在x∈[0，4m]上的最大值，
∵g′（x）=x²-4mx+3m²，令g′（x）=（x-m）（x-3m）=0，
则x=m，x=3m，g(m)=

4

3

m3-

32

3

，g(3m)=-

32

3

，
又g(0)=-

32

3

，g(4m)=

4

3

m3-

32

3

，
∴当x∈[0，4m]时，g(x)max=

4

3

m3-

32

3

，
∴

4

3

m3-

32

3

≤0，
即m≤2，又m＞

3

2

，
∴m的取值范围为(

3

2

，2]．

点评：本题考查曲线的切线方程的求法，考查函数的单调性的求法，考查实数的取值范围的求法，考查导数的性质及其应用．解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想和等价转化思想的应用．