Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n,点(n,)在直线y=x+上.数列{b_n}满足b_n+2-2b_n+1+b_n=0(n∈N^*),且b₃=11,前9项和为153.

(1)(理20(1)文19(1))求数列{a_n}、{b_n}的通项公式;

(2)(理20(2)文19(2))设c_n=,数列{c_n}的前n项和为T_n,求使不等式T_n＞对一切n∈N^*都成立的最大正整数k的值;

(3)(理)设f(n)=是否存在m∈N^*,使得f(m+15)=5f(m)成立?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.

Answer 1

解：(1)(理20(1)文19(1))由题意,得=n+,即S_n=n²+n.

故当n≥2时,a_n=S_n-S_n-1=(n²+n)-［(n-1)²+(n-1)］=n+5.

注意到n=1时,a₁=S₁=6,而当n=1时,n+5=6,所以a_n=n+5(n∈N^*).

又b_n+2-2b_n+1+b_n=0,即b_n+2-b_n+1=b_n+1-b_n(n∈N^*),所以{b_n}为等差数列,于是=153.

而b₃=11,故b₇=23,d==3,因此,b_n=b₃+3(n-3)=3n+2,即b_n=3n+2(n∈N^*).

(2)（理20(2)文19(2))c_n=

=.

所以,T_n=c₁+c₂+…+c_n=

.

由于T_n+1-T_n=,因此T_n单调递增,故(T_n)_min=.

令＞,得k＜19,所以k_max=18.

(3)(理)f(n)=

①当m为奇数时,m+15为偶数.

此时f(m+15)=3(m+15)+2=3m+47,5f(m)=5(m+5)=5m+25,

所以3m+47=5m+25,m=11.

②当m为偶数时,m+15为奇数.此时f(m+15)=m+15+5=m+20,5f(m)=5(3m+2)=15m+10,

所以m+20=15m+10,m=N^*(舍去).

综上,存在唯一正整数m=11,使得f(m+15)=5f(m)成立.