Question

已知向量=（cosx，sinx），=（-cosx，cosx）
（1）当x∈[，]时，求函数f（x）=2•+1的最大值．
（2）设f（x）=2•+1，将函数y=f（x）的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求y=g（x）的单调递减区间．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用两个向量的数量积公式化简函数f（x）的解析式，确定角的范围，求出其最值．
（2）由题意得，g（x）= sin（-），由2kπ+≤（-）≤2kπ+，k∈z，求出x的范围，即得到g（x）的单调递减区间．
解答：解：（1）函数f（x）=2•+1=2（-cos²x+sinxcosx）+1=2sinxcosx-（2cos²x-1 ）
=sin2x-cos 2x=sin（2x-）．
∵x∈[，]，∴≤2x-≤2π，∴-1≤sin（2x-）≤，
∴当 2x-=，即 x=时，函数f（x）有最大值为 =1．
（2）由题意得，f（x）= sin（2x-）的图象向右平移个单位后得到，
y=sin[2（x-）-]= sin[2x-]，
再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到g（x）= sin[•2x-]= sin（-）．
由2kπ+≤（-）≤2kπ+，k∈z，4kπ+≤x≤4kπ+，
故g（x）的单调递减区间为（ 4kπ+，4kπ+ ），k∈z．
点评：本题考查两个向量的数量积公式，三角函数的图象的变换，三角函数的最值，正弦函数的单调增区间，得到g（x）的 解析式是解题的难点．