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一种计算装置,有一数据入口点A和一个运算出口点B,按照某种运算程序:
①当从A口输入自然数1时,从B口得到
1
3
,记为f(1)=
1
3

②当从A口输入自然数n(n≥2)时,在B口得到的结果f(n)是前一个结果f(n-1)的
2(n-1)-1
2(n-1)+3
倍;
试问:当从A口分别输入自然数2,3,4 时,从B口分别得到什么数?试猜想f(n)的关系式,并证明你的结论.
分析:由已知可得,该程序的功能是计算并输出满足条件:①a1=
1
3
an=an-1
2(n-1)-1
2(n-1)+3
的数列第n项an的值.模拟程序的运行过程,依次计算出数列的各项不难给出答案.
解答:解:由已知得f(n)=
2n-3
2n+1
f(n-1)(n≥2,n∈N*)

当n=2时,f(2)=
4-3
4+1
×f(1)=
1
5
×
1
3
=
1
15

同理可得f(3)=
1
35
,f(4)=
1
63
---------------------(4分)
猜想f(n)=
1
(2n-1)(2n+1)
 &(*)
-------------------(6分)
下面用数学归纳法证明(*)成立
①当n=1,2,3,4时,由上面的计算结果知(*)成立------(8分)
②假设n=k(k≥4,k∈N*)时,(*)成立,即f(k)=
1
(2k-1)(2k+1)

那么当n=k+1时,f(k+1)=
2k-1
2k+3
f(k)=
2k-1
2k+3
1
(2k-1)(2k+1)

f(k+1)=
1
[2(k+1)-1][2(k+1)+1]
∴当n=k+1时,(*)也成立---------------(13分)
综合①②所述,对?n∈N*f(n)=
1
(2n-1)(2n+1)
成立.-----(14分)
点评:算法是新课程中的新增加的内容,也必然是新高考中的一个热点,应高度重视.程序填空也是重要的考试题型,这种题考试的重点有:①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出.其中前两点考试的概率更大.此种题型的易忽略点是:不能准确理解流程图的含义而导致错误.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

一种计算装置,有一数据入口A和一个运算出口B,按照某种运算程序:(ⅰ)当从A口输入自然数1时,从B口得到,记为f(1)= ;(ⅱ)当从A口输入自然数n(n≥2)时,在B口得到的结果f(n)是前一结果f(n-1)的倍.

试问:

(1)当从A口输入自然数2和3时,从B口分别得到什么数?试猜想f(n)的关系式,并证明你的结论;

(2)要想从B口得到2 303的倒数,则应从A口输入什么样的自然数?

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科目:高中数学 来源:2010年河南省许昌市六校高二下学期期末考试(理科)数学卷 题型:解答题

(本小题满分12分)
一种计算装置,有一数据入口A和一个运算出口B ,按照某种运算程序:①当从A口输入自然数1时,从B口得到 ,记为 ;②当从A口输入自然数时,在B口得到的结果是前一个结果倍.
(1)当从A口分别输入自然数2 ,3 ,4 时,从B口分别得到什么数?试猜想的关系式,并证明你的结论;
(2)记为数列的前项的和。当从B口得到399的倒数时,求此时对应的的值.

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科目:高中数学 来源:2010年福建省四地六校高二下学期第二次联考数学(理科)试题 题型:解答题

(本小题满分14分)

一种计算装置,有一数据入口点A和一个运算出口点B ,按照某种运算程序:

①当从A口输入自然数1时,从B口得到 ,记为

②当从A口输入自然数时,在B口得到的结果是前一个结果倍;

试问:当从A口分别输入自然数2 ,3 ,4 时,从B口分别得到什么数?试猜想的关系式,并证明你的结论。

 

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科目:高中数学 来源:2010年河南省许昌市六校高二下学期期末考试(理科)数学卷 题型:解答题

(本小题满分12分)

   一种计算装置,有一数据入口A和一个运算出口B ,按照某种运算程序:①当从A口输入自然数1时,从B口得到 ,记为 ;②当从A口输入自然数时,在B口得到的结果是前一个结果倍.

(1)当从A口分别输入自然数2 ,3 ,4 时,从B口分别得到什么数?试猜想的关系式,并证明你的结论;

(2)记为数列的前项的和。当从B口得到399的倒数时,求此时对应的的值.

 

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