Question

5．设函数f（x）对任意实数x满足f（x+a）-f（x）=$\sqrt{3}$[1+f（x）•f（x+a）]，讨论f（x）的周期性．

Answer 1

分析 由已知条件，可得f（x+a），两次将x换为x+a，化简变形，即可得到f（x+3a）=f（x），由周期函数的定义，即可得到所求周期．

解答 解：f（x+a）-f（x）=$\sqrt{3}$[1+f（x）•f（x+a）]，
可得f（x+a）=$\frac{\sqrt{3}+f（x）}{1-\sqrt{3}f（x）}$，
将x换为x+a，可得f（x+2a）=$\frac{\sqrt{3}+f（x+a）}{1-\sqrt{3}f（x+a）}$=$\frac{f（x）-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}f（x）}$，
将x换为x+a，可得f（x+3a）=$\frac{f（x+a）-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}f（x+a）}$，
代入f（x+a）=$\frac{\sqrt{3}+f（x）}{1-\sqrt{3}f（x）}$，化简可得f（x+3a）=f（x），
由周期函数的定义可得f（x）的一个周期为3a．

点评 本题考查函数的周期的求法，注意运用赋值法，将x换为x+a，是解题的关键，考查化简能力，属于中档题．