Question

已知直线l₁：x-2y-1=0，直线l₂：ax-by+1=0
（1）集合A={1，2，3，4，5，6}，若a∈A、b∈A且随机取数，求l₁与l₂平行的概率；
（2）若a∈[0，6]、b∈[0，4]且随机取数，求l₁与l₂的交点位于第一象限的概率．

Answer 1

分析：（1）利用两直线平行，得到a，b的关系，然后利用古典概型求概率．
（2）先求出l₁与l₂的交点，然后利用交点在第一象限，得出a，b的关系式，然后利用几何概型的公式求概率．

解答：解：（1）若l₁与l₂平行，则

a

1

=

-b

-2

≠

-1

1

，解得b=2a．
因为a∈A、b∈A，所以a，b的组合共有6×6=36种．
所以满足b=2a的a，b有（1，2），（2，4），（3，6）有3种．
所以l₁与l₂平行的概率为

3

36

=

1

12

．
（2）由a，b构成的基本事件为

0≤a≤6 0≤b≤4

表示的区域．
直线x-2y-1=0的斜截式方程为y=

1

2

x-

1

2

，斜率为

1

2

．
由ax-by+1=0，得解得y=

a

b

x+

1

b

，所以直线的斜率

a

b

≥0，y轴上的截距

1

b

＞0，
所以要使l₁与l₂的交点位于第一象限，则必有

a

b

＜

1

2

，即b＞2a．
所以利用几何概型分别作出对应的平面区域如图：
则l₁与l₂的交点位于第一象限，对应的区域为阴影部分的面积．
当b=4时，解得a=2，即E（2，4）．
所以三角形OBE的面积为

1

2

×4×2=4，而矩形OBCD的面积为4×6=24．
所以由几何概型可知l₁与l₂的交点位于第一象限的概率为

4

24

=

1

6

．

点评：本题主要考查了古典概型和几何概型的概率公式的应用．对应几何概型要转化为相应的长度，面积或体积来进行计算．本题的难点是如何求出l₁与l₂的交点位于第一象限的条件，最后要通过线性规划来解决．