Question

设平面向量=（x₁，y₁），=（x₂，y₂），定义运算⊙：⊙=x₁y₂-y₁x₂．已知平面向量，，，则下列说法错误的是（ ）
A．（⊙）+（⊙）=0
B．存在非零向量a，b同时满足⊙=0且•=0
C．（+）⊙=⊙+⊙
D．|⊙|²=||²||²-|•|²

Answer 1

【答案】分析：根据定义不难得出B是错误的，⊙=x₁y₂-y₁x₂=0，说明向、是互相平行的向量，若•=0，说明它们是垂直的向量．因为不存在两个非零向量，它们既平行又垂直，故B选项是错误的，而对于其它选项，可以分别证明它们是真命题．
解答：解：对于A，由定义得，⊙=x₁y₂-y₁x₂，⊙=x₂y₁-y₂x₁，所以（⊙）+（⊙）=0成立，A正确．
对于B，因为两个向量、平行的充要条件是x₁y₂-y₁x₂=0，若非零向量a，b同时满足⊙=0且•=0，说明两个向量既平行又垂直，故B选项是错误的．
设对于C，设，则（+）⊙=（x₁+x₂，y₁+y₂）⊙=n（x₁+x₂）-m（y₁+y₂）=（nx₁-y₁m）+（nx₂-my₂）=⊙+⊙，故C选项是正确的．
 对于D，|⊙|²=（x₁y₂-y₁x₂ ）²=x₁²y₂²-2x₁x₂y₁y₂+y₁²x₂²
||²||²-|•|²=（x₁²+y₁²）（x₂²+y₂²）-（x₁x₂+y₁y₂）²=x₁²y₂²-2x₁x₂y₁y₂+y₁²y₂²，因此D选项是正确的．
故选B
点评：本题考查了在新定义下向量数量积的应用，属于基础题．牢记面向量的平行、垂直的充要条件，准确运用它们的坐标运算，是解决本题的关键．