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20.若函数$f(x)=\frac{1}{3}{x^3}+a{x^2}-bx+4$在点P(2,f(2))处的切线为$y=4x-\frac{10}{3}$.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)讨论方程f(x)=k实数解的个数.

分析 (1)求得函数的导数,求得切线的斜率和切点,解方程可得a,b,进而得到f(x)的解析式;
(2)求出f(x)的导数,求得单调区间和极值,结合图象,即可得到方程解的情况.

解答 解:(1)∵函数$f(x)=\frac{1}{3}{x^3}+a{x^2}-bx+4$,
f'(x)=x2+2ax-b,
根据题意得f'(2)=4,即4a-b=0,
又$f(2)=8-\frac{10}{3}$,即有$\frac{8}{3}$+4a-2b+4=8-$\frac{10}{3}$,
解得$a=\frac{1}{2},b=2$,
∴$f(x)=\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}{x^2}-2x+4$;
(2)∵$f(x)=\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}{x^2}-2x+4$,
∴f'(x)=x2+x-2=(x+2)(x-1),
令f'(x)>0解得x<-2或x>1,f'(x)<0解得-2<x<1,
即有f(x)的增区间为(-∞,-2),(1,+∞),减区间为(-2,1),
即有x=1处取得极小值,且为$\frac{17}{2}$,x=-2处取得极大值,且为$\frac{22}{3}$.
则当k<$\frac{17}{6}$或k>$\frac{22}{3}$时,方程k=f(x)有一个解;
当k=$\frac{17}{6}$或k=$\frac{22}{3}$时,方程k=f(x)有两个解;
当$\frac{17}{6}$<k<$\frac{22}{3}$时,方程k=f(x)有三个解.

点评 本题考查导数的运用:求切线的斜率和单调区间、极值,考查数形结合的思想方法,以及运算能力,属于中档题.

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