Question

矩形ABCD与矩形ABEF的公共边为AB，且平面ABCD平面ABEF，如图所示，FD， AD=1， EF=．

（Ⅰ）证明：AE 平面FCB；
（Ⅱ）求异面直线BD与AE所成角的余弦值
（Ⅲ）若M是棱AB的中点，在线段FD上是否存在一点N，使得MN∥平面FCB？
证明你的结论．

Answer 1

（Ⅰ）见解析
（Ⅱ）
（Ⅲ）见解析

(1) 平面ABCD平面ABEF,
且四边形ABCD与ABEF是矩形,
AD平面ABEF,ADAE,
BC∥AD BCAE
又FD=2,AD=1,所以AF=EF=,
所以四边形ABEF为正方形.AEFB,
又BFBF平面BCF，BC平面BCF
所以AE平面BCF……………………………………………4分
(2)设BFAE=O,取FD的中点为H,连接OH,在 OH//BD,
HOF即为异面直线BD与AE所成的角(或补角),
在中,OH=1,FH=1,FO=,cosHOF=
异面直线BD与AE所成的角的余弦值为………………………….8分
(3)当N为FD的中点时, MN∥平面FCB
证明：取CD的中点G,连结NG，MG，MN，
则NG//FC,MG//BC,
又NG平面NGM，MG平面NGM且NGMG=G
所以平面NGM//平面FBC,
MN平面NGM
MN//平面FBC……………………………………………………………12分