Question

已知数列{a_n}的首项a₁=a，S_n是数列{a_n}的前n项和，且满足：

S

2 n

=3n²a_n+

S

2 n-1

，a_n≠0，n≥2，n∈N^*．
（1）若数列{a_n}是等差数列，求a的值；
（2）确定a的取值集合M，使a∈M时，数列{a_n}是递增数列．

Answer 1

分析：（1）分别令n=2，n=3，及a₁=a，结合已知可由a表示a₂，a₃，结合等差数列的性质可求a，
（2）由

S

2 n

=3n²a_n+

S

2 n-1

，得

S

2 n

-

S

2 n-1

=3n²a_n，两式相减整理可得所以S_n+S_n-1=3n²，进而有S_n+1+S_n=3（n+1）²，两式相减可得数列的偶数项和奇数项分别成等差数列，结合数列的单调性可求a

解答：解：（1）在

S

2 n

=3n²a_n+

S

2 n-1

中分别令n=2，n=3，及a₁=a
得（a+a₂）²=12a₂+a²，（a+a₂+a₃）²=27a₃+（a+a₂）²，
因为a_n≠0，所以a₂=12-2a，a₃=3+2a．                          …（2分）
因为数列{a_n}是等差数列，所以a₁+a₃=2a₂，
即2（12-2a）=a+3+2a，解得a=3．…（4分）
经检验a=3时，a_n=3n，S_n=

3n(n+1)

2

，S_n-1=

3n(n-1)

2

满足

S

2 n

=3n²a_n+

S

2 n-1

．
（2）由

S

2 n

=3n²a_n+

S

2 n-1

，得

S

2 n

-

S

2 n-1

=3n²a_n，
即（S_n+S_n-1）（S_n-S_n-1）=3n²a_n，
即（S_n+S_n-1）a_n=3n²a_n，因为a_n≠0，
所以S_n+S_n-1=3n²，（n≥2），①…（6分）
所以S_n+1+S_n=3（n+1）²，②
②-①，得a_n+1+a_n=6n+3，（n≥2）．③…（8分）
所以a_n+2+a_n+1=6n+9，④
④-③，得a_n+2-a_n=6，（n≥2）
即数列a₂，a₄，a₆，…，及数列a₃，a₅，a₇，…都是公差为6的等差数列，…（10分）
因为a₂=12-2a，a₃=3+2a．
∴a_n=

a，n=1 3n+2a-6，n为奇数且n≥3 3n-2a+6，n为偶数

  …（12分）
要使数列{a_n}是递增数列，须有a₁＜a₂，且当n为大于或等于3的奇数时，a_n＜a_n+1，
且当n为偶数时，a_n＜a_n+1，即a＜12-2a，
3n+2a-6＜3（n+1）-2a+6（n为大于或等于3的奇数），
3n-2a+6＜3（n+1）+2a-6（n为偶数），
解得

9

4

＜a＜

15

4

．
所以M=（

9

4

，

15

4

），当a∈M时，数列{a_n}是递增数列．              …（16分）

点评：本题主要考查了等差数列的性质的应用，数列的单调性的应用，属于知识的综合应用．