Question

已知F是抛物线y²=4x的焦点，Q是抛物线的准线与x轴的交点，直线l经过点Q，
(1)若直线l与抛物线恰有一个交点，求l的方程；
(2)如图所示，直线l与抛物线交于A、B两点，
①记直线FA、FB的斜率分别为k₁、k₂，求k₁+k₂的值；
②若线段AB上一点R满足，求点R的轨迹方程．

Answer 1

解：依题意得：Q(-1，0)，
直线l的斜率存在，设其斜率为k，则直线l的方程为y=k(x+1)，
代入抛物线方程得：k²x²+(2k²-4)x+k²=0，
(1)若k≠0，令Δ=0得，k=±1，此时l的方程为y=x+1或y=-x-1；
若k=0，易知满足题意，故l的方程为y=0；
(2)显然k≠0，记A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，
则，x₁x₂=1，，
①；
②设点R的坐标为(x，y)，
，
∴，
∴，
∴，
由Δ＞0得，-1＜k＜1，
又k≠0，∴y∈(-2，0)∪(0，2)；
综上，点R的轨迹方程为x=1，y∈(-2，0)∪(0，2)。