Question

【题目】如图，四边形与均为菱形，，且．

（1）求证：平面；

（2）求证：平面；

（3）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

试题分析：（1）由线面垂直的判定定理得到结论；（2）通过证明线线平行,得到线面平行；（3）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量,易知面,所以面的法向量为,再求出它们的夹角的余弦值.

试题解析：（1）证明：设与相交于点，连接，因为四边形为菱形，所以，且为中点，又，所以，

因为，所以平面．

（2）证明：因为四边形与均为菱形，

所以，，所以平面平面，

又平面，所以平面．

（3）解：因为四边形为菱形，且，所以△为等边三角形，

因为为中点，所以，故平面．

由，，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系．

设，因为四边形为菱形，，则，所以，，

所以，，，，．

所以，．

设平面的法向量，则有所以

取，得．

易知平面的法向量为．

由二面角是锐角，得，

所以二面角的余弦值为．