Question

已知数列{a_n}中，a₁=-

1

128

，a_n≠0，S_n+1+S_n=3a_n+1+

1

64

．
（1）求a_n；
（2）若b_n=log₄|a_n|，T_n=b₁+b₂+…+b_n，则当n为何值时，T_n取最小值？求出该最小值．

Answer 1

解析：（1）∵S_n+1+S_n=3a_n+1+

1

64

． ①
∴S_n+S_n-1=3a_n+

1

64

． ②
两式相减得a_n+1+a_n=3（a_n+1-a_n），
即a_n+1=2a_n（n≥2）．
又∵S₂+S₁=3a₂+

1

64

，
∴a₂+2a₁=3a₂+

1

64

，
∴a₂=a₁-

1

128

=-

1

64

，
∴a₂=2a₁，
∴a_n+1=2a_n（n∈N^*）．
∴数列{a_n}是公比q=2的等比数列，
∵a₁=-

1

128

，
∴a_n=-

1

128

•2^n-1=-2^n-8．
（2）∵b_n=log₄|-2^n-8|=

1

2

（n-8）．
∴数列{b_n}是等差数列，
令b_n≥0得，n≥8，且b₈=0，
∴当n=7或8时，T_n最小，最小值为-14．