Question

已知函数f(x)=

x

ex

(x＞0)
（1）求函数f（x）的单调区间．
（2）设P为函数f（x）图象上的一点，以线段OP为母线绕x轴旋转得到几何体M，求几何体M的体积的最大值．
（3）如果0＜x₁＜x₂，且f（x₁）=f（x₂），试比较f（x₂）与f（2-x₁）的大小．

Answer 1

分析：（1）求导函数，利用导数的正负，可得函数的单调区间；
（2）表示出几何体M的体积，利用导数，确定函数的单调性，可得结论；
（3）确定0＜x₁＜1＜x₂，2-x₁＞1，分类讨论，可得结论．

解答：解：（1）求导函数，可得f′(x)=

1-x

ex

(x＞0)
令f′（x）＞0，可得0＜x＜1；令f′（x）＞0，可得x＞1，
∴函数的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，+∞）；
（2）几何体M的体积V=

1

3

π•(

x

ex

)2•x=

πx3

3e2x

（x＞0）
∴V′=

πx2(9-x)

e2x

∴x∈（0，9）时，V′＞0，函数单调递增；x∈（9，+∞）时，V′＜0，函数单调递减，
∴x=9时，V取得最大值，最大值为

9π

e18

；
（3）∵0＜x₁＜x₂，且f（x₁）=f（x₂），函数的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，+∞），
∴0＜x₁＜1＜x₂，
∴2-x₁＞1
若1＜x₂＜2-x₁，则f（x₂）＞f（2-x₁）；若x₂＞2-x₁＞1，则f（x₂）＜f（2-x₁）．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查大小比较，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．