Question

2．椭圆C₁$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点A（1，$\frac{3}{2}$），两个焦点为（-1，0），（1，0）．
（Ⅰ）求椭圆C₁的标准方程；
（Ⅱ）设E，F是椭圆C₁上的两个动点，若直线AE，AF的倾斜角互补，证明：直线EF的斜率为定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）方法一、由题意，c=1，可设椭圆方程代入已知点A，由a，b，c的关系，解方程求出a，b，由此能够求出椭圆方程；
方法二、运用椭圆的定义可得2a=4，再由c=1，再由a，b，c的关系，求出b，由此能够求出椭圆方程；
（Ⅱ）设直线AE方程为：y=k（x-1）+$\frac{3}{2}$，代入椭圆方程，由韦达定理，可得E的坐标，将k换为-k，可得F的坐标，由直线的斜率公式，计算即可得证．

解答 解：（Ⅰ）（法1）由已知，c=1，将点A代入椭圆方程，得$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{9}{{b}^{2}}$=1，
又a²-b²=1，解得a=2，b=$\sqrt{3}$，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（法2）利用椭圆的定义：点A到两个焦点的距离之和为2a，
所以2a=$\sqrt{（1+1）^{2}+\frac{9}{4}}$+$\frac{3}{2}$=4，即a=2，又c=1，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）证明：设直线AE方程为：y=k（x-1）+$\frac{3}{2}$，
代入$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，得（3+4k²）x²+4k（3-2k）x+4（$\frac{3}{2}$-k）²-12=0
设E（x_E，y_E），F（x_F，y_F），
因为点A（1，$\frac{3}{2}$）在椭圆上，
所以x_E=$\frac{4（\frac{3}{2}-k）^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，y_E=kx_E+$\frac{3}{2}$-k．
又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，
在上式中以-k代k，可得x_F=$\frac{4（\frac{3}{2}+k）^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，y_F=-kx_F+$\frac{3}{2}$+k，
所以直线EF的斜率k_EF=$\frac{{y}_{F}-{y}_{E}}{{x}_{F}-{x}_{E}}$=$\frac{-k（{x}_{F}+{x}_{E}）+2k}{{x}_{F}-{x}_{E}}$=$\frac{1}{2}$．
即直线EF的斜率为定值，其值为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法和直线与椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，避免出错．