Question

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁D⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱A₁A=2，
（Ⅰ）证明：AC⊥A₁B；
（Ⅱ）若棱AA₁上存在一点P，使得

AP

=λ

PA1

，当二面角A-B₁C₁-P的大小为30⁰时，求实数λ的值．

Answer 1

分析：（I）根据题意建立空间直角坐标系，分别求出两条直线所在的向量．利用向量之间的运算求出两个向量的夹角，进而转化为两条直线的夹角．
（II）首先根据题意写出P点的坐标，再分别求出两个平面的法向量，然后利用向量之间的运算求出两个向量的夹角，进而转化为两个平面的夹角，即可求出λ的数值．

解答：解：根据题意可得：以DA，DC，DA₁所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，A1(0，0，

3

)B(1，1，0)，D1(-1，0，

3

)，B1(0，1，

3

)，C1(-1，1，

3

)---------------（1分）
（Ⅰ）由以上可得：

AC

=(-1，1，0)，

A1B

=(1，1，-

3

)
∴

AC

•

A1B

=-1×1+1×1+0×(-

3

)=0
∴AC⊥A₁B--------------（4分）
（Ⅱ）∵

AP

=λ

PA1

∴P(

1

1+λ

，0，

3 λ

1+λ

)，
设平面AB₁C₁的一个法向量为

n1

=(x1，y1，z1)，
因为

AB1

=(-1，1，

3

)，

AC1

=(-2，1，

3

)
所以

n1 • AB1 =-x1+y1+ 3 z1=0 n1 • AC1 =-2x1+y1+ 3 z1=0

，
令z1=

3

则y₁=-3，x₁=0，
∴

n1

=(0，-3，

3

)-----------------------（6分）
设平面B₁C₁P的一个法向量为

n2

=(x2，y2，z2)，
因为

B1C1

=(-1，0，0)，

B1P

=(

1

λ+1

，-1，

- 3

λ+1

)
所以

n2 • B1C1 =-x2=0 n2 • B1P = x2 λ+1 -y2- 3 z2 λ+1 =0

∴

n2

=(0，

3

λ+1

，-1)-----------------（8分）
所以cos30°=|cos＜

n1

，

n2

＞|=

| -3 3 λ+1 - 3 |

3 (λ+1)2 +1 •2 3

=

| 3 λ+1 +1|

2 3 (λ+1)2 +1

=

3

2

-------（10分）
解得：λ=2--------------------------------------------------------------（12分）

点评：本题考查的知识点证明线线垂直以及根据二面角的大小求参数，解决的方法是根据题意建立空间之间坐标系，利用向量的有关运算解决问题，利用向量解题对学生的运算能力有一定的要求．