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已知动圆过定点F(0,2),且与定直线L:y=-2相切.
(I)求动圆圆心的轨迹C的方程;
(II)若AB是轨迹C的动弦,且AB过F(0,2),分别以A、B为切点作轨迹C的切线,设两切线交点为Q,证明:AQ⊥BQ.
【答案】分析:(I)由题意可得:动圆圆心到定点(0,2)与到定直线y=-2的距离相等,利用抛物线的定义求轨迹方程即可;
(II)设AB:y=kx+2,将直线的方程代入抛物线的方程,消去y得到关于x的一元二次方程,再结合根与系数的关系利用切线的几何意义即可求得过抛物线上A、B两点的切线斜率关系,从而解决问题.
解答:解:(I)依题意,圆心的轨迹是以F(0,2)为焦点,L:y=-2为准线的抛物线上(2分)
因为抛物线焦点到准线距离等于4,所以圆心的轨迹是x2=8y(5分)
(II)∵直线AB与x轴不垂直,设AB:y=kx+2.A(x1,y1),B(x2,y2).(6分)
x2-8kx-16=0,x1+x2=8k,x1x2=-16(8分)
抛物线方程为
所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是

所以,AQ⊥BQ
点评:本题考查轨迹方程的求法,以及抛物线定义的应用,体现分类讨论的数学思想.定义法  若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等),可用定义直接探求.
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