Question

设函数f(x)=a-

2

2x+1

，
（1）求证：不论a为何实数f（x）总为增函数；
（2）确定a的值，使f（x）为奇函数；
（3）若不等式f（x）+a＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）用单调性的定义来证明．
（2） f（x）为奇函数，∴f（-x）=-f（x）对所有x都成立求出a．
（3）f（x）+a＞0恒成立转化为2a＞

2

2x+1

恒成立，找

2

2x+1

的最大值即可．

解答：解：（1）f（x）的定义域为R，设x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=a-

2

2x1+1

-a+

2

2x2+1

=

2•(2x1-2x2)

(1+2x1)(1+2x2)

，
∵x₁＜x₂，∴2x1-2x2＜0，(1+2x1)(1+2x2)＞0，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），所以不论a为何实数f（x）总为增函数．

（2）∵f（x）为奇函数，∴f（-x）=-f（x），即a-

2

2-x+1

=-a+

2

2x+1

，
解得：a=1．∴f(x)=1-

2

2x+1

.
（3）∵2^x+1＞1，∴0＜

2

2x+1

＜2，
∵f(x)=a-

2

2x+1

，∴f（x）+a＞0可化为2a-

2

2x+1

＞0，
即2a＞

2

2x+1

．故要使f（x）+a＞0恒成立，只须2a≥2，
即a≥1．

点评：本题是一道难度中档的综合题，第三问是函数方面的恒成立问题，恒成立问题一般有两种情况，一是f（x）＞a恒成立，只须比f（x）的最小值小即可，二是f（x）＜a恒成立，只须比f（x）的最大值大即可．