Question

【题目】已知抛物线E：y2=8x，圆M：（x﹣2）2+y2=4，点N为抛物线E上的动点，O为坐标原点，线段ON的中点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）点Q（x0 ， y0）（x0≥5）是曲线C上的点，过点Q作圆M的两条切线，分别与x轴交于A，B两点，求△QAB面积的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：设P（x，y），则点N（2x，2y）在抛物线E：y2=8x上，

∴4y2=16x，

∴曲线C的方程为y2=4x；

（2）解：设切线方程为y﹣y0=k（x﹣x0）．

令y=0，可得x= ，

圆心（2，0）到切线的距离d= =2，

整理可得 ．

设两条切线的斜率分别为k1，k2，则k1+k2= ，k1k2= ，

∴△QAB面积S= |（x0﹣ ）﹣（x0﹣ ）|y0=2

设t=x0﹣1∈[4，+∞），则f（t）=2（t+ +2）在[4，+∞）上单调递增，

∴f（t）≥ ，即△QAB面积的最小值为

【解析】（1）利用代入法，求曲线C的方程；（2）设切线方程为y﹣y0=k（x﹣x0），圆心（2，0）到切线的距离d= =2，整理可得 ，表示出面积，利用函数的单调性球心最小值．