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    椭圆C1：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）的长轴长为4，焦距为2，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直l1于点P，线段PF2垂直平分线交l2于点M
    （1）求椭圆C1的标准方程和动点M的轨迹C2的方程．
    （2）过椭圆C1的右焦点F2作斜率为1的直线交椭圆于A、B两点，求△ABF1的面积．
    （3）设轨迹C2与x轴交于点Q，不同的两点R、S在轨迹C2上，
    满足
    QR
    •
    QS
    =0    求证：直线RS恒过x轴上的定点．
    分析：（1）由题设知：2a=4，即a=2，2c=2，即c=1，b2=a2-c2=3，故椭圆方程为
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1    ，由MP=MF2，知动点M到定直线l1：x=-1，的距离等于它到定点F1（1，0）的距离，由此能求出点M的轨迹C2的方程．
    （2）
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1
    y=x-1
    消去x并整理得：7y2+6y-9=0，设A（x3，y3），B（x4，y4）则y3+y4=-
    6
    7
    ，y3y4=-
    9
    7
    ，由此能求出△ABF1的面积．
    （3）Q（0，0），设R(
    y12
    4
    ，y1)  ，S(
    y22
    4
    ，y2)    ，kRS=
    y2-y1
    y22
    4
    -
    y21
    4
    =
    4
    y1+y2
    ，由
    QR
    •
    QS
    =0    ，知
    y
    2
    1
    y
    2
    2
    16
    +y1y2=0    ，由题设知直线RS恒过定点（4，0）．
    解答：解：（1）由题设知：2a=4，即a=2，2c=2，即c=1，b2=a2-c2=3，故椭圆方程为
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1    ，由MP=MF2，知
    ∴动点M到定直线l1：x=-1，的距离等于它到定点F1（1，0）的距离，
    ∴动点M的轨迹是C为l1准线，F2为焦点的抛物线
    ∴点M的轨迹C2的方程为y2=4x（5分）
    （2）
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1
    y=x-1
    消去x并整理得：7y2+6y-9=0
    设A（x3，y3），B（x4，y4）则y3+y4=-
    6
    7
    ，y3y4=-
    9
    7
    （7分）S△ABF1=
    1
    2
    |F1F2|•|y3-y4|=|y3-y4|    =
    		(y3+y4)2-4y3y4
    =
    12
    		2
    7
    （9分）
    （3）Q（0，0），设R(
    y12
    4
    ，y1)  ，S(
    y22
    4
    ，y2)    ，kRS=
    y2-y1
    y22
    4
    -
    y21
    4
    =
    4
    y1+y2
    （10分）∵
    QR
    •
    QS
    =0    ∴
    y
    2
    1
    y
    2
    2
    16
    +y1y2=0    ∵y1≠0，y2≠0∴y1y2=-16x1x2=16（11分）∴直线RS：y-y1=
    4
    y1+y2
    (x-x1)    ∴y=
    4
    y1+y2
    x+y1-
    4x1
    y1+y2
    ∴y=
    4
    y1+y2
    x+
    y1(y1+y2)-4x1
    y1+y2
    =
    4
    y1+y2
    x+
    y
    2
    1
    +y1y2-4•
    y
    2
    1
    4
    y1+y2
    =
    4
    y1+y2
    x+
    y1y2
    y1+y2
    =
    4
    y1+y2
    x+
    -16
    y1+y2
    =
    4
    y1+y2
    (x-4)    （13分）
    故直线RS恒过定点（4，0）（14分）
    点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网设椭圆C1：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的左、右焦点分别是F1、F2，下顶点为A，线段OA的中点为B（O为坐标原点），如图．若抛物线C2：y=x2-1与y轴的交点为B，且经过F1，F2点．
    （Ⅰ）求椭圆C1的方程；
    （Ⅱ）设M（0，-
    4
    5
    ），N为抛物线C2上的一动点，过点N作抛物线C2的切线交椭圆C1于P、Q两点，求△MPQ面积的最大值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C1：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的右焦点F2与抛物线C2：y2=4x的焦点重合，椭圆C1与抛物线C2在第一象限的交点为P，|PF2|=
    5
    3
    ，求椭圆C1的方程．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•三门峡模拟）已知椭圆C1：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的长轴长为4，离心率为
    1
    2
    ，F1、F2分别为其左右焦点．一动圆过点F2，且与直线x=-1相切．
    （Ⅰ）（ⅰ）求椭圆C1的方程； （ⅱ）求动圆圆心C轨迹的方程；
    （Ⅱ）在曲线上C有两点M、N，椭圆C1上有两点P、Q，满足MF2与
    NF2
    共线，
    PF2
    与
    QF2
    共线，且
    PF2
    •
    MF2
    =0，求四边形PMQN面积的最小值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C1：
    x2
    A2
    +
    y2
    B2
    =1(A＞B＞0)    和双曲线C2：
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1(a＞0，b＞0)    有相同的焦点F1、F2，2c是它们的共同焦距，且它们的离心率互为倒数，P是它们在第一象限的交点，当cos∠F1PF2=60°时，下列结论中正确的是（　　）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•汕头一模）已知椭圆C1：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，离心率e=
    1
    2

    （1）设抛物线C2：y2=4x的准线与x轴交于F1，求椭圆的方程；
    （2）设已知双曲线C3以椭圆C1的焦点为顶点，顶点为焦点，b是双曲线C3在第一象限上任意-点，问是否存在常数λ（λ＞0），使∠BAF1=λ∠BF1A恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

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